ผลลัพธ์ของช่องว่างจำนวนเฉพาะต่อๆ ไป เป็นไปตามสัจพจน์ของเบอร์แทรนด์ ซึ่ง gn < pn

ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะกล่าวว่า "ความยาวเฉลี่ย" ของช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะ p กับจำนวนเฉพาะถัดไป มีค่าเท่ากับ ln p ซึ่งความยาวจริงของช่องว่างอาจมากกว่าหรือน้อยกว่านี้ก็ได้ อย่างไรก็ตาม จากทฤษฎีบทดังกล่าวเราสามารถคาดคะเนขอบเขตบนสำหรับความยาวของช่องว่างนั้น นั่นคือ ทุกค่าของ ε > 0 จะมีจำนวน N ที่ทำให้ gn < εpn สำหรับทุกค่าของ n > N

Guido Hoheisel ได้แสดงเป็นครั้งแรก [5] ว่ามีค่าคงตัว θ < 1 ที่ทำให้

π ( x + x θ ) − π ( x ) ∼ x θ / log ⁡ ( x ) {\displaystyle \pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim x^{\theta }/\log(x)\,\!}

เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้อนันต์ ซึ่งแสดงให้เห็นว่า

g n < p n θ {\displaystyle g_{n}<p_{n}^{\theta }}

สำหรับจำนวน n ที่มีขนาดมากเพียงพอ เราสามารถคาดคะเนว่าช่วงว่างจะดูเล็กลงเมื่อเทียบกับขนาดของจำนวนเฉพาะ นั่นคือ gn / pn จะมีค่าเข้าใกล้ศูนย์ เมื่อ n มีค่าเข้าใกล้อนันต์

Hoheisel เลือกค่าที่เป็นไปได้คือ 32999/33000 สำหรับแทนค่าของ θ ต่อมาก็ได้พัฒนาเป็น 249/250 โดย Hans Heilbronn [6] และเปลี่ยนเป็น 3/4 + ε สำหรับค่าใดๆ ของ ε > 0 โดย Čudakov [7]

การพัฒนาครั้งหนึ่งที่สำคัญโดย Albert Ingham [8] ผู้ซึ่งกล่าวว่า ถ้าหาก

ζ ( 1 / 2 + i t ) = O ( t c ) {\displaystyle \zeta (1/2+\mathbf {i} t)=O(t^{c})}

จะมีค่าคงตัว c ที่เป็นจำนวนบวก ที่ทำให้

π ( x + x θ ) − π ( x ) ∼ x θ / log ⁡ ( x ) {\displaystyle \pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim x^{\theta }/\log(x)\,\!}

สำหรับค่าใดๆ ของ θ > (1 + 4c)/(2 + 4c) เมื่อ ζ คือฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ และ π คือฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะ ในเมื่อเราทราบว่าค่าของ c > 1/6 เป็นค่าที่ยอมรับได้ ดังนั้น θ จึงสามารถเป็นจำนวนใดๆ ก็ได้ที่มากกว่า 5/8

จากความรู้ของ Ingham ส่งผลให้สามารถทราบได้ว่า จะมีจำนวนเฉพาะแทรกอยู่ระหว่าง n3 และ (n + 1)3 เสมอ ถ้า n มีขนาดใหญ่เพียงพอ ไม่เว้นแม้แต่สมมติฐานของ Lindelöf ซึ่งกล่าวว่าเราสามารถให้ค่า c เป็นจำนวนบวกใดๆ แล้วทำให้มีจำนวนเฉพาะแทรกอยู่ระหว่าง n2 กับ (n + 1)2 ด้วยเงื่อนไขเดียวกัน (ดูเพิ่มที่ ข้อความคาดการณ์ของเลอช็องดร์) และเพื่อที่จะยืนยันคำกล่าวนี้ ผลลัพธ์ที่มีน้ำหนักอย่างเช่นข้อความคาดการณ์ของเครเมอร์อาจเป็นที่ต้องการ

Martin Huxley กล่าวว่าเราอาจสามารถใช้ค่า θ = 7/12 ก็ได้ [9] และจากผลลัพธ์เมื่อเร็วๆ นี้ Baker, Harman และ Pintz ได้แสดงให้เห็นว่า θ สามารถเท่ากับ 0.525 ก็ได้ [10]